[RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS] - Módulo de Inércia e Resistência

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Módulo de Inércia (I)

Já vimos em outra postagem (neste link) as reações externas que as estruturas sofrem, sejam elas compressão, tração, flexão ou torção e que devemos respeitar as leis da estática, ou simplesmente condições de equilíbrio, para que as mesmas se mantenham estáveis.

No entanto, além das reações externas, as estruturas também sofrem com reações internas. Para que possamos compreender essas reações, considere que uma viga de madeira retangular está apoiada de duas formas distintas, em pé e deitada, conforme mostrado abaixo:

Fonte: livro Concreto Armado eu Te Amo, vol 1, 3ª edição

É fácil perceber que a barra que se encontra apoiada em pé, está sofrendo uma reação de flexão menor do que a deitada. Se quiser testar na prática, pegue uma régua e tente dobrá-la na posição deitada e depois na posição em pé. Certamente você terá muito mais facilidade no primeiro caso.

Se calcularmos os momentos fletores em ambas as vigas, veremos que serão obtidos os mesmos resultados, pois a fórmula é a mesma, nesse caso, com a carga centrada, Mc = P.L / 4.

Então, como é possível que uma viga tenha sofrido maior flexão do que a outra, sendo que elas possuem as mesmas dimensões, são do mesmo material e estão recebendo a mesma carga?

Isso ocorre devido à disposição de cada viga, perante a carga em questão.

Observe a seguinte imagem, onde foi destacado a seção transversal de ambas as vigas:

Fonte: livro Concreto Armado eu Te Amo, vol 1, 3ª edição

Veja que no bordo superior da viga, a mesma sofre compressão e no bordo inferior, ela sofre tração. O ponto onde separa essas duas reações é denominado linha neutra e as reações nessa localidade são sempre nulas.

Se analisarmos melhor as imagens, veremos que a distância entre a linha neutra e os bordos inferior e superior, para cada viga, são diferentes. Na primeira, essa distância é maior e na segunda, ela é menor. E é exatamente esse fator que determinará as tensões de compressão e tração atuantes.

O símbolo utilizado para determinar essas tensões é o σ (sigma) e a fórmula para calcular as tensões em determinado ponto da seção transversal é:

Fonte: livro Concreto Armado eu Te Amo, vol 1, 3ª edição

Ou seja, para determinado ponto Z da seção transversal da viga, iremos calcular as tensões de compressão ou tração naquela área, levando em conta a distância entre a mesma e a linha neutra da peça. Essa distância é obtida por meio do Momento de Inércia ( I ) que a viga está sofrendo. Porém, tome cuidado, pois o momento de inércia não é simplesmente obtido por essa distância, mas sim pelo o quadrado dela até a linha neutra.

Agora, sabendo que o Momento de Inércia é o responsável pela a variação nas tensões de compressão e tração da peça, fica fácil entender o porquê uma sofre maior deformação que a outra. 

As fórmulas para se obter a Inércia ( I ) são tabeladas para as formas geométricas mais comum, como:

Fonte: livro Concreto Armado eu Te Amo, vol 1, 3ª edição

Quando alteramos o eixo da peça, mudamos totalmente o seu momento de inércia, assim como as tensões que atuarão na mesma. 

No exemplo abaixo, veremos como esses valores variam consideravelmente para uma peça deitada e outra em pé:

Fonte: livro Concreto Armado eu Te Amo, vol 1, 3ª edição

Ou seja, na posição 1, o momento de inércia é de 2.500 cm4 e na posição 2, foi de 22.500 cm4, sendo 9 vezes maior que no primeiro caso. Como, quanto maior for o momento de inércia de uma peça, maior será sua resistência às tensões, é explícito o fato de que a posição 1 pode se romper com mais facilidade. 

Módulo de Resistência (W)

O Módulo de Resistência, representado pela a letra W, é semelhante ao Módulo de Inércia, porém, sua maior finalidade é obter diretamente quais são as maiores tensões atuando em uma peça, ou seja, nos bordos da mesma, sendo que o cálculo da inércia pode nos fornecer essas tensões em qualquer ponto X da peça. 

As fórmulas para se encontrar o Módulo de Resistência também são tabeladas para as principais formas geométricas utilizadas, conforme abaixo:

Fonte: livro Concreto Armado eu Te Amo, vol 1, 3ª edição

Já a fórmula para se obter os valores das tensões nos pontos máximos da peça, utilizando-se o Módulo de Resistência, é:

Perceba que dessa vez, apenas dividi-se o momento fletor máximo pelo o módulo de resistência, obtido por meio das fórmulas anteriores, obtendo-se assim o máximo momento de compressão ou tração da peça. 

Exemplos

1) Calcule a tensão de compressão que está atuando à uma distância de 7,00 cm, no banzo superior, da viga bi apoiada de 1 m abaixo, com seção transversal de 20 x 40 cm:

Primeiro, devemos calcular o máximo momento fletor que a peça está recebendo. Nesse caso, onde a carga é centralizada, a fórmula já é padronizada, conforme mostrado anteriormente.

Mfmáximo = P.L / 4

Mfmáximo = (25.000 . 100) / 4

Mfmáximo = 625.000 kgfcm

O exercício pede que encontremos a tensão atuante a 7 cm do banzo superior da peça, nesse caso, será de compressão, conforme mostrado na figura a seguir:

Para encontrar o Momento de Inércia atuante na peça, utilizaremos a fórmula padrão para peças retangulares:

Ix = b.h³ / 12
Ix = 20.(40³) / 12
Ix = 106.666,67 cm4

De posse do momento fletor máximo atuante em toda a extensão da peça e o momento de inércia, poderemos calcular a tensão de compressão atuante a 7 cm do banzo superior:

σc = (M / I) . x
σc = (625.000,00 / 106.666,67) . 7
σc = 41,01 kgf/ cm² 

2) Para a mesma viga do exercício anterior, calcular as máximas tensões de compressão e tração atuantes.

Como a intenção é obter as máximas tensões, poderemos utilizar diretamente a fórmula do Módulo de Resistência.

Vamos, antes, encontrar este módulo.

W = b.h² / 6
W = 20.40² / 6
W = 5.333,33 cm³

logo,

σc = σt = M / W
σc = σt = 625.000 / 5.333,33
σc = σt = 117,19 kgf / cm²  - Essa será a maior tensão de compressão e tração atuante na peça.

Se quisermos usar a fórmula da Inércia, também é possível.

σc = σt = (M / I) . x
σc = σt = (625.000 / 106.666,67) . 20 (bordo máximo  da peça)
σc = σt = 117,19 kgf / cm²

Observações Importantes
Dessa forma, é possível saber se uma peça irá resistir às tensões aplicadas, ou então, através das cargas, calcularmos as dimensões dessas peças e os maiores vãos suportados.

Se caso a viga dos exemplos acima for de concreto, com resistência característica a compressão (Fck), igual a 30 MPa (1 MPa = 10,1972 kgf/cm²), as tensões limites a compressão serão de 305,91 kgf/cm².

Obviamente, 305,91 > 117,19 kgf/cm², ou seja, a viga irá resistir a compressão dessa carga.

PORÉM, é importante ressaltar que a resistência a tração do concreto é de cerca de 1/10 da sua resistência a compressão, ou seja, nesse caso, será de 30,5 kgf/cm², muito inferior a tensão de tração atuando nessa viga.

Assim, entendemos o motivo de se aliar o aço ao concreto, pois o mesmo possui uma resistência a tração consideravelmente elevada. Esse assunto foi tratado neste link. 

Para finalizar, vale ressaltar que nos exemplos acima não foram utilizados os coeficientes de majoração e minoração - coeficientes de segurança -, pois a finalidade foi apenas didática.

Espero que tenha sido bastante claro e direto nesse assunto e volto nas próximas postagens.

Abraços!